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今天看到一个蛮有意思的题,是问“100!”的尾数有多少个零。

尾数有多少个零,实际上指的是从这个数的最后一个不为0的数的下一个(也就是0)开始计数,一直到最后一个数(这些数自然都是0)有多少个0。

好吧,也就是说13330330000的尾数有4个零……

一个整数若含有因子5,则必然在求解100!时产生一个0,也就是说我们从5开始for循环,每次循环都给加上5,然后计数器加1。同时如果该整数还能被25整除,计数器还应该再加上1。(关于这段话的详细解释请看下文)

因此代码如下:

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#include<stdio.h>
int main()
{
int a,count =0;
for(a=5;a<=100;a+=5)
{
++count;
if(!(a%25))
++count;
}
printf("100!的尾数有%d个零。\n",count);
return 0;
}

题目后面进一步问了如何求出任意N!的尾数有多少个零。

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#include<stdio.h>
int main()
{
int n;
printf("请输入N:\n");
scanf("%d",&n);
if(n<0)
printf("%d的阶层无意义。\n",n);
else if(n<=4)
printf("%d的阶层的尾数没有零。\n");
else
{
int a,count =0;
for(a=5;a<=n;a+=5)
{
++count;
if(!(a%25))
++count;
}
printf("100!的尾数有%d个零。\n",count);
}
return 0;
}

本文就这样结束了吗?

题目的解答中有这么一段话:先求出100!的值,然后数一下末尾有多少个零。事实上,由于计算机所能表示的整数范围有限,这是不可能的。

首先,什么叫计算机所能表示的整数范围?应该叫int等数据类型的整数范围有限才对,计算机嘛……撑死了只能说不能存储而非不能表示。

另外100的阶层真的求不出来吗?请往下读。

我的博客中有大量关于Lisp,或者说Scheme的博文,使用这个语言,几行代码就能搞定了不是吗?欢迎阅读我的其他博文……

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(define (fact n)
(if (= n 1)
1
(* n (fact (- n 1)))))
;Value: fact

1000的阶层也能求,截图为证……

这里写图片描述

闲得无聊,以下是10000的阶层,大家可以继续算更大的数,哈哈……

………………

我发现这个CSDN博客写上这么多数字之后博客没法提交,有异常……没办法,只能上传了……下载后觉得有意思记得回来点赞哦……

传送门:10000的阶层

有网友私信问我,为什么一个整数若含有因子5,则必然在求解100!时产生一个0。这里所说的一个整数,自然是在求100的阶层时需要计算的从1到100这些整数。我下列出一些等式:

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1x2=2
2x3=6
6x4=24
24x5=120
120x6=720
720x7=5040
5040x8=40320
40320x9=362880
362880x10=3628800
3628800x11=39916800
3991680x12=479001600
47900160x13=6227020800
622702080x14=87178291200
8717829120x15=1307674368000
…… ……

看到上式就会发现每次尾部增加0都是因为成了一个因子是5的整数。那么一直乘到100都会是这样吗?当然是。但这样就能证明?显然不能。

我们来看看各个整数的最后一个数:

如果是0的话,也就是说是乘以10或者20、30之类的,那么肯定会加上一个0。而且它也是5的倍数。

如果是1的话,无论乘以谁显然都不可能得到10。(这里的谁是指的的上面那些式子中的乘号左边的数的最后一个不为0的数。

如果是2的话,乘以5会得到10。

如果是4、6、8的话乘以5也会得到10。

如果是3、7、9的话就和1一样不会得到10。(得不到10也就无法增加一个0)

那么为什么是5而不是2、4、6、8呢?因为对于任何一个大于1的数的阶层而言,它的最后一个不为0的数必然是偶数。这又是为什么呢?因为最起码一开始就成了2,结果变成了偶数,而偶数乘以偶数为偶数,偶数乘奇数还是偶数…… 而2、4、6、8都必须和5相乘才可以得到10,以至于增加一个0。

那么5呢?5乘以任意一个偶数不都可以增加一个0吗,比如所10、20、30、40等等。

那么这个问题就得到了较为具体的解答。该网友还问了,为什么一个整数有25的因子,就需要计数再加1呢,很显然25是两个5的乘积呀。那么又为什么不考虑5的三次方也就是125呢?因为我们只乘到了100呀,100的阶层嘛。

如果不信我们就来验算一下呗……

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#include<stdio.h>
int main()
{
int a,count =0;
for(a=5;a<=200;a+=5)
{
++count;
if(!(a%25))
{
++count;
if(!(a%125))
++count;
}
}
printf("200!的尾数有%d个零。\n",count);
return 0;
}

还有截图为证哦……

这里写图片描述

后来还看到一个题目,和这个也类似,需要求的是100的阶层的结果的数字中从左到右第一个四位的质数。

代码来源于网络以及别人的解答,感觉这里还是蛮巧妙地。

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// C# Code
public static class Program
{
public static void Main(string[] args)
{
string fac100 = Factorial(100).ToString("F0");
Console.WriteLine("The factorial of 100 is : {0}", fac100);
for (int i = 0; i <= fac100.Length - 4; i++)
{
string substr = fac100.Substring(i, 4);
if (CheckPrime(Convert.ToInt32(substr)))
{
Console.WriteLine("The expected result found and it is : " + substr);
return;
}
}
Console.WriteLine("No result as expected!!");
}
public static double Factorial(int n)
{
double result = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
result *= i;
return result;
}
public static bool CheckPrime(int n)
{
if (n == 1 || n == 2)
return true;
int squareRoot = Convert.ToInt32(Math.Sqrt(n));
for (int i = squareRoot; i > 1; i--)
if (n % i == 0)
return false;
return true;
}
}

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// C++ Code
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
double Factorial(int n)
{
double result = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
result *= i;
return result;
}
bool CheckPrime(long n)
{
if (n == 1 || n == 2)
return true;
long squareRoot = (long)sqrt(n);
for (long i = squareRoot; i > 1; i--)
if (n % i == 0)
return false;
return true;
}
int main(int argc, char *argv[])
{
char buf[1024] = { '\0' };
sprintf_s(buf, "%.f", Factorial(100));
cout << "The factorial of 100 is : " << buf << endl;
char substr[5] = { '\0' };
for (int i = 0; i <= strlen(buf) - 4; i++)
{
memcpy(substr, buf + i, 4);
if (CheckPrime(atol(substr)))
{
cout << "The expected result found and it is : " << substr << endl;
return 0;
}
}
cout << "No result as expected!!";
return 0;
}
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// C Code
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <stdbool.h>
double Factorial(int n)
{
double result = 1;
int i;
for (i = 1; i <= n; i++)
result *= i;
return result;
}
bool CheckPrime(long n)
{
if (n == 1 || n == 2)
return true;
long squareRoot = (long)sqrt(n);
long i;
for (i = squareRoot; i > 1; i--)
if (n % i == 0)
return false;
return true;
}
int main(int argc, char *argv[])
{
char buf[1024] = { '\0' };
sprintf(buf, "%.f", Factorial(100));
printf("The factorial of 100 is : %s\n",buf);
char substr[5] = { '\0' };
int i;
for (i = 0; i <= strlen(buf) - 4; i++)
{
memcpy(substr, buf + i, 4);
if (CheckPrime(atol(substr)))
{
printf("The expected result found and it is : %s\n",substr);
return 0;
}
}
printf("No result as expected!!\n");
return 0;
}

本站地址:http://nomasp.com/

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