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目录

  1. 递归和迭代
  2. 补充问题:
  3. 借助递归树求解递归式
  4. 霍纳规则
  5. 如何求解10000的阶层

递归和迭代

这两个概念也许很多童鞋依旧分不清楚,下面通过求解斐波那契数来看看它们俩的关系吧。

斐波那契数的定义:
$$ f_0 = 0 $$
$$ f_1 = 1 $$
$$ fi = f{i-1}+f_{i-2} (i > 1) $$

递归:

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(factorial 6)
(* 6 (factorial 5))
(* 6 (* 5 (factorial 4)))
(* 6 (* 5 (* 4 (factorial 3))))
(* 6 (* 5 (* 4 (* 3 (factorial 2)))))
(* 6 (* 5 (* 4 (* 3 (2 (factorial 1))))))
(* 6 (* 5 (* 4 (* 3 (* 2 1)))))
(* 6 (* 5 (* 4 (* 3 2))))
(* 6 (* 5 (* 4 6)))
(* 6 (* 5 24))
(* 6 120)
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迭代:

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(factorial 6)
(factorial 1 1 6)
(factorial 1 2 6)
(factorial 2 3 6)
(factorial 6 4 6)
(factorial 24 5 6)
(factorial 120 6 6)
(factorial 720 7 6)
720

递归的核心在于:不断地回到起点
迭代的核心在于:不断地更新参数

在下面的代码中:

递归的核心是sum的运算,sum不断的累乘,虽然运算的数值不同,但形式和意义一样。

而迭代的核心是product和counter的不断更新。如上表中,product就是factorial的前2个参数不断的累乘更新成第一个参数;而第二个参数则是counter,其不断的加1来更新自己。

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product <- counter * product
counter < - counter + 1
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#include <iostream>
using namespace std;
int factorialRecursive(int n);
int factorialIteration(int product, int counter, int max_count);
int main()
{
int n;
cout<<"Enter an integer:"<<endl;
cin>>n;
cout<<factorialRecursive(n)<<endl;
cout<<factorialIteration(1,1,n)<<endl;
return 0;
}
int factorialRecursive(int n)
{
int sum=1;
if(n==1)
sum*=1;
else
sum=n*factorialRecursive(n-1);
return sum;
}
int factorialIteration(int product, int counter, int max_count)
{
int sum=1;
if(counter>max_count)
sum*=product;
else
factorialIteration((counter*product),(counter+1),max_count);
}

补充问题:

关于上面的factorialIteration函数,今天收到一份邮件,我也通过再次分析学到了很多,这里罗列一下。


第一个问题:

首先来看相对简单的问题,该童鞋在函数内以两种不同方式加上another_sum=2却有着不同的结果。

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int factorialIteration(int product, int counter, int max_count)
{
int sum=1;
int another_sum=2;
if(counter>max_count)
{
sum*=product;
another_sum*=product;
}
else
factorialIteration((counter*product),(counter+1),max_count);
}
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int factorialIteration(int product, int counter, int max_count)
{
int sum=1;
int another_sum=2;
if(counter>max_count)
{
another_sum*=product;
sum*=product;
}
else
factorialIteration((counter*product),(counter+1),max_count);
}

因为这个函数声明的是int型的返回类型,但没有用return语句,所以C++自动将其运行的最后一行语句作为了返回语句。所以这两个函数类似于:

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int factorialIteration(int product, int counter, int max_count)
{
int sum=1;
int another_sum=2;
if(counter>max_count)
{
sum*=product;
return another_sum*=product;
}
else
factorialIteration((counter*product),(counter+1),max_count);
}
int factorialIteration(int product, int counter, int max_count)
{
int sum=1;
int another_sum=2;
if(counter>max_count)
{
another_sum*=product;
return sum*=product;
}
else
factorialIteration((counter*product),(counter+1),max_count);
}

然而我在CodeBlocks中写的代码不用return是可以的,但在Visual Studio中却是会报错的。

有了这个发现,我原来的代码也可以这样来写:

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#include <iostream>
using namespace std;
int factorialRecursive(int n);
int factorialIteration(int product, int counter, int max_count);
int main()
{
int n;
cout<<"Enter an integer:"<<endl;
cin>>n;
cout<<factorialRecursive(n)<<endl;
cout<<factorialIteration(1,1,n)<<endl;
return 0;
}
int factorialRecursive(int n)
{
int sum=1;
if(n==1)
sum*=1;
else
sum=n*factorialRecursive(n-1);
// return sum; // 去掉这里的return语句
}
int factorialIteration(int product, int counter, int max_count)
{
int sum=1;
if(counter>max_count)
return sum*=product; // 在这里加上return语句
else
factorialIteration((counter*product),(counter+1),max_count);
}

现在来看另一个问题:

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#include <iostream>
using namespace std;
int test(int n);
int sum;
int main()
{
cout<<test(1)<<endl;
return 0;
}
int test(int n)
{
sum = 1;
sum += n;
if (sum < 5)
test(n+1);
}

如果设sum为全局变量,那么会在test函数中每一次调用sum=1时都将sum重新赋值为1。整个程序最后输出为5。这个应该没有什么悬念吧?

如果设sum给test内的局部变量,则会在每一次执行int sum=1语句时都会创建一个新的sum对象,它的存放地址和之前的sum并不相同。然后整个程序最后输出意外的是4。

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#include <iostream>
using namespace std;
int test(int n);
int main()
{
cout<<test(1)<<endl;
return 0;
}
int test(int n)
{
int sum = 1;
sum += n;
if (sum < 5)
return test(n+1);
// return sum; 此处有这一行代码命名为程序1,没有这行代码命名为程序2
}

程序1的输出是5,程序2的输出是4。具体函数执行过程如下:

第一步,调用test(1):

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int sum=1
sum=2
return test(2)

第二步,调用test(2):

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int sum=1
sum=3
return test(3)

第三步,调用test(3):

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int sum=1
sum=4
return test(4)

第四步,调用test(4):

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int sum=1
sum=5

执行到第四步的时候,由于sum以及不比5小了,所以程序1没有进入if语句而是执行下一句return sum,所以输出为1。

而如果是程序2,也就是没有return sum语句,那么程序在执行完第四步后就会返回到第三步,最终调用(return) sum=4,输出4。


第三个问题:

该童鞋还提到了尾递归,这里我就来说说我的理解,如有问题欢迎大家直接评论或邮件给我。

上面代码中的递归函数factorialRecursive应该没问题的吧。

上面的代码我给其命名为迭代。

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int factorialIteration(int product, int counter, int max_count)
{
int sum=1;
if(counter>max_count)
sum*=product;
else
factorialIteration((counter*product),(counter+1),max_count);
}

通过在main函数中调用如下代码来执行该函数:

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cout<<factorialIteration(1,1,n)<<endl;

当然,也可以另外写一个函数如下:

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int factorialIter(int n)
{
return factorialIteration(1,1,n);
}

并通过在main函数中直接调用该函数来做计算:

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cout<<factorialIter(n)<<endl;

函数factorialIteration中的max_count我们称其为“循环不变量”,也就是对于整个运算过程而言这个变量是不变的。为了让大家更加印象深刻,将前面出现过的东西再来复制一遍:

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(factorial 6)
(factorial 1 1 6)
(factorial 1 2 6)
(factorial 2 3 6)
(factorial 6 4 6)
(factorial 24 5 6)
(factorial 120 6 6)
(factorial 720 7 6)
720

从第二行开始的factorial的第三个参数”6“就是循环不变量。

尾递归:

在计算机科学中,尾调用是一个作为过程最后一步的子例程调用执行。如果尾调用可能在以后的调用链中再调用这同一个子例程,那么这个子例程就被称为是尾递归,它是递归的一个特殊情况。尾递归非常有用,在实现中也容易处理。尾调用可以不通过在调用堆栈中添加新的栈帧而实现。

传统上,尾部调用消除是可选的。然而,在函数式编程语言中,尾调用消除往往由语言标准作为保障,这种保证允许使用递归,在特定情况下的尾递归,来代替循环。在这种情况下,尽管用它作为一种优化是不正确的(尽管它可能是习惯用法)。在尾递归中,当一个函数调用它自身这种特殊情况下,可能调用消除比传统的尾调用更加合适。

迭代:

迭代是一个重复过程,它的目的是接近既定的目标或结果。每次重复的过程也称为”迭代“,作为迭代的结果都将作为下一次迭代的起点。

迭代在计算中是指的计算机程序中的重复的语句块。它可以表示两个专业术语,同义重复,以及描述一种具有可变状态重复的具体形式。然后令人费解的是,它也可以表示通过显式重复结构的任何重复,而不管其可变性。

在第一个意义上,递归是迭代的一个例子,但通常用”递归“来标记,而不作为”迭代“的例子。

在第二个意义上,(更加狭义地)迭代描述了一种编程风格。这与一个有着更有声明性方法的递归有着鲜明的对比。

第三个意义上,使用while或for循环,以及使用map或fold的函数也被视为迭代。

(以上定义部分摘自英文维基百科)

关于递归和尾递归在函数式编程中的应用也可以看这里:【Scheme归纳】3 比较do, let, loop

下面我也列出了相关的Scheme语言的代码:

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(define (factorial n)
(if (= n 1)
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(* n (factorial (- n 1)))))
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(define (factorial n)
(fact-iter 1 1 n))
(define (fact-iter product counter max-count)
(if (> counter max-count)
product
(fact-iter (* counter product)
(+ counter 1)
max-counter)))

以上分别是递归和迭代的阶层,下面是Common Lisp语言版的斐波那契数求法:

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(defun fib (n)
(fib-iter 1 0 n))
(defun fib-iter (a b count)
(if (= count 0)
b
(fib-iter (+ a b) a (- count 1))))

借助递归树求解递归式

前面我们已经看到了递归式,也看到了递归树,那么如何借助递归树来求解递归式呢?接下来就来看看吧。

在递归树中,每个结点都表示一个单一问题的代价,子问题对应某次递归函数调用。

通过对树中每层的代价进行求和,就可以得到每层的代价;然后将所有层的代价求和,就可以得要到所有层次的递归调用的总代价。

我们通常用递归树来得出一个较好的猜测结果,然后用代入法来证明猜测是否正确。但是通过递归树来得到结果时,不可避免的要忍受一些”不精确“,得在稍后才能验证猜测是否正确。

因为下面的示例图太难用键盘敲出来了,我就用了手写,希望大家不介意。

这里写图片描述

如下所示,有一个递归式,我们要借助它的递归树来求解最终的结果。前面所说的忍受“不精确”这里就有2点:

1)我们要关注的更应该是解的上界,因为我们知道舍入对求解递归式没有影响,因此可以将$\Theta(n^2)$写成$cn^2$,且为该递归式创建了如下递归树。

2)我们还将$n$假定为2的幂,这样所有子问题的规模均为正数。

图a所示的是$T(n)$,在图b中则得到了一步扩展的机会。它是如何分裂的呢?递归式的系数为3,因此有3个子结点;n被分为2部分,因此每个结点的耗时为$T(n/2)$。图c所示的则是更加进一步的扩展,且直到最后的终点。

这棵树有多高(深)呢?

我们发现对于深度为$i$的结点,相应的规模为$n/2^i$。因此当$n/2^i=1$时,也就意味着等式$i=\log_2 n$成立,此时子问题的规模为1。因此这个递归树有$\log_2 n+1$层。那为什么不是$\log_2 n$层呢?因为深度从$0$开始,也就是$(0,1,2,…,\log_2 n)$。

有了深度还需要计算每一层的代价。其中每层的结点数都是上一层的3倍,因此深度为$i$的结点数为$3^i$。而每一层的规模都是上一层的$1/4$,所以对于$i=0,1,2,…,\log_4 n -1$,深度为$i$的每个结点的代价为$c(n/2^i)^2$。

因此对于$i=0,1,2,…,\log_4 n -1$,深度为$i$的所有结点的总代价为$(3^i)*(c(n/2^i)^2)$,也就是$3^ic(n/2^i)^2$。

递归树的最底层深度为$\log_2 n$,它有$3^{\log_2 n}=n^{log_2 3}$个结点,每个结点的代价为$T(1)$,总代价就是$n^{log_2 3}T(1)$,假定$T(1)$为常量,即为$\Theta(n^{log_2 3})$。

这里写图片描述

至于这最后的$4c$为什么可以直接省略掉,如上一节所说的,渐近记号都包含了常量因子。因此猜测$T(n)=\Theta(n^2)$。在这个示例中,$cn^2$的系数形成了一个递减几何级数。由于根结点对总代价的贡献为$cn^2$,所以根结点的代价占总代价的一个常量比例,也就是说,根结点的代价支配了整棵树的总代价。

这里写图片描述

不知道大家看不看得清,上面的两行文字是“我们要证的是$T(n)\leq dn^2$对某个常量$d>0$成立,使用常量$c>0$“和”当$d \geq 4c$时,最后一步成立。

霍纳规则

在看如何求解1000的阶层之前,我们不妨先看看一个简单点的:霍纳规则。当然,您也可以停顿下来先自己琢磨琢磨。

一、背景

霍纳(Horner)规则是采用最少的乘法运算策略,来求多项式
$$ A(x) = an x^n + a{n-1}x^{n-1} + … + a_1 x + a_0 $$
在x0处的值。

该规则为$$ A(x_0) = ( … (( a_n x0 + a{n-1}) x_0 + … + a_1) x_0 + a_0)$$

二、分析

如果光看着式子或许会有点烦躁,不妨手动设定几个值到式子中去来手工运算一番,这样一来也会有些亲身的理解。

通过分解我们注意到,从右往左来看,每一个小式子都是如此:
$$ {something} * x_0 + a_i $$

三、代码

C语言版

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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int hornerRule(int list[],int m,int x0);
int main()
{
int m,x0;
printf("Enter an integer (length of list): \n");
scanf("%d",&m);
int list[m];
printf("Enter some integers for list: \n");
int i;
for(i=m-1;i>=0;i--)
{
scanf("%d",&list[i]);
}
printf("Enter an integer for x0: \n");
scanf("%d",&x0);
printf("%d",hornerRule(list,m,x0));
return 0;
}
int hornerRule(int list[],int m,int x0)
{
if(m<=1)
return list[0];
else
return list[0]+(hornerRule(list+1,m-1,x0))*x0;
}

C++语言版

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#include <iostream>
using namespace std;
int hornerRule(int list[],int m,int x0);
int main()
{
int m,x0;
cout<<"Enter an integer (length of list):"<<endl;
cin>>m;
int list[m];
cout<<"Enter some integers for list:"<<endl;
for(int i=m-1;i>=0;i--)
{
cin>>list[i];
}
cout<<"Enter an integer for x0:"<<endl;
cin>>x0;
cout<<hornerRule(list,m,x0);
return 0;
}
int hornerRule(int list[],int m,int x0)
{
if(m<=1)
return list[0];
else
return list[0]+(hornerRule(list+1,m-1,x0))*x0;
}

四、测试

这里写图片描述

五、进阶

(PS:博主有一段时间没有碰Scheme有点忘了,所以下面的代码可能有些……粗糙)
关于Scheme可以看这里:
专栏:SICP练习
专栏:Scheme归纳

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(define (Horner list m x0)
(define (Horner-iter ls n)
(if (<= n 1)
(car ls)
(+ (car ls) (* (Horner-iter (cdr ls) (- n 1)) x0))))
(Horner-iter list m))
(define list '(1 2 1 0 3 1))
;Value: list
(Horner list 6 10)
;Value: 130121

如何求解10000的阶层

看到过一个蛮有意思的题,是问“100!”的尾数有多少个零。

尾数有多少个零,实际上指的是从这个数的最后一个不为0的数的下一个(也就是0)开始计数,一直到最后一个数(这些数自然都是0)有多少个0。

好吧,也就是说13330330000的尾数有4个零……

一个整数若含有因子5,则必然在求解100!时产生一个0,也就是说我们从5开始for循环,每次循环都给加上5,然后计数器加1。同时如果该整数还能被25整除,计数器还应该再加上1。(关于这段话的详细解释请看下文)

因此代码如下:

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#include<stdio.h>
int main()
{
int a,count =0;
for(a=5;a<=100;a+=5)
{
++count;
if(!(a%25))
++count;
}
printf("100!的尾数有%d个零。\n",count);
return 0;
}

题目后面进一步问了如何求出任意N!的尾数有多少个零。

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#include<stdio.h>
int main()
{
int n;
printf("请输入N:\n");
scanf("%d",&n);
if(n<0)
printf("%d的阶层无意义。\n",n);
else if(n<=4)
printf("%d的阶层的尾数没有零。\n");
else
{
int a,count =0;
for(a=5;a<=n;a+=5)
{
++count;
if(!(a%25))
++count;
}
printf("100!的尾数有%d个零。\n",count);
}
return 0;
}

本文就这样结束了吗?

题目的解答中有这么一段话:先求出100!的值,然后数一下末尾有多少个零。事实上,由于计算机所能表示的整数范围有限,这是不可能的。

首先,什么叫计算机所能表示的整数范围?应该叫int等数据类型的整数范围有限才对,计算机嘛……撑死了只能说不能存储而非不能表示。

另外100的阶层真的求不出来吗?请往下读。

我的博客中有大量关于Lisp,或者说Scheme的博文,使用这个语言,几行代码就能搞定了不是吗?欢迎阅读我的其他博文……

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(define (fact n)
(if (= n 1)
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(* n (fact (- n 1)))))
;Value: fact

1000的阶层也能求,截图为证……

这里写图片描述

闲得无聊,以下是10000的阶层,大家可以继续算更大的数,哈哈……

………………

我发现这个CSDN博客写上这么多数字之后博客没法提交,有异常……没办法,只能上传了……下载后觉得有意思记得回来点赞哦……

传送门:10000的阶层

有网友私信问我,为什么一个整数若含有因子5,则必然在求解100!时产生一个0。这里所说的一个整数,自然是在求100的阶层时需要计算的从1到100这些整数。我下列出一些等式:

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1x2=2
2x3=6
6x4=24
24x5=120
120x6=720
720x7=5040
5040x8=40320
40320x9=362880
362880x10=3628800
3628800x11=39916800
3991680x12=479001600
47900160x13=6227020800
622702080x14=87178291200
8717829120x15=1307674368000
…… ……

看到上式就会发现每次尾部增加0都是因为成了一个因子是5的整数。那么一直乘到100都会是这样吗?当然是。但这样就能证明?显然不能。

我们来看看各个整数的最后一个数:

如果是0的话,也就是说是乘以10或者20、30之类的,那么肯定会加上一个0。而且它也是5的倍数。

如果是1的话,无论乘以谁显然都不可能得到10。(这里的谁是指的的上面那些式子中的乘号左边的数的最后一个不为0的数。

如果是2的话,乘以5会得到10。

如果是4、6、8的话乘以5也会得到10。

如果是3、7、9的话就和1一样不会得到10。(得不到10也就无法增加一个0)

那么为什么是5而不是2、4、6、8呢?因为对于任何一个大于1的数的阶层而言,它的最后一个不为0的数必然是偶数。这又是为什么呢?因为最起码一开始就成了2,结果变成了偶数,而偶数乘以偶数为偶数,偶数乘奇数还是偶数…… 而2、4、6、8都必须和5相乘才可以得到10,以至于增加一个0。

那么5呢?5乘以任意一个偶数不都可以增加一个0吗,比如所10、20、30、40等等。

那么这个问题就得到了较为具体的解答。该网友还问了,为什么一个整数有25的因子,就需要计数再加1呢,很显然25是两个5的乘积呀。那么又为什么不考虑5的三次方也就是125呢?因为我们只乘到了100呀,100的阶层嘛。

如果不信我们就来验算一下呗……

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#include<stdio.h>
int main()
{
int a,count =0;
for(a=5;a<=200;a+=5)
{
++count;
if(!(a%25))
{
++count;
if(!(a%125))
++count;
}
}
printf("200!的尾数有%d个零。\n",count);
return 0;
}

还有截图为证哦……

这里写图片描述

后来还看到一个题目,和这个也类似,需要求的是100的阶层的结果的数字中从左到右第一个四位的质数。

代码来源于网络以及别人的解答,感觉这里还是蛮巧妙地。

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// C# Code
public static class Program
{
public static void Main(string[] args)
{
string fac100 = Factorial(100).ToString("F0");
Console.WriteLine("The factorial of 100 is : {0}", fac100);
for (int i = 0; i <= fac100.Length - 4; i++)
{
string substr = fac100.Substring(i, 4);
if (CheckPrime(Convert.ToInt32(substr)))
{
Console.WriteLine("The expected result found and it is : " + substr);
return;
}
}
Console.WriteLine("No result as expected!!");
}
public static double Factorial(int n)
{
double result = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
result *= i;
return result;
}
public static bool CheckPrime(int n)
{
if (n == 1 || n == 2)
return true;
int squareRoot = Convert.ToInt32(Math.Sqrt(n));
for (int i = squareRoot; i > 1; i--)
if (n % i == 0)
return false;
return true;
}
}

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// C++ Code
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
double Factorial(int n)
{
double result = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
result *= i;
return result;
}
bool CheckPrime(long n)
{
if (n == 1 || n == 2)
return true;
long squareRoot = (long)sqrt(n);
for (long i = squareRoot; i > 1; i--)
if (n % i == 0)
return false;
return true;
}
int main(int argc, char *argv[])
{
char buf[1024] = { '\0' };
sprintf_s(buf, "%.f", Factorial(100));
cout << "The factorial of 100 is : " << buf << endl;
char substr[5] = { '\0' };
for (int i = 0; i <= strlen(buf) - 4; i++)
{
memcpy(substr, buf + i, 4);
if (CheckPrime(atol(substr)))
{
cout << "The expected result found and it is : " << substr << endl;
return 0;
}
}
cout << "No result as expected!!";
return 0;
}
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// C Code
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <stdbool.h>
double Factorial(int n)
{
double result = 1;
int i;
for (i = 1; i <= n; i++)
result *= i;
return result;
}
bool CheckPrime(long n)
{
if (n == 1 || n == 2)
return true;
long squareRoot = (long)sqrt(n);
long i;
for (i = squareRoot; i > 1; i--)
if (n % i == 0)
return false;
return true;
}
int main(int argc, char *argv[])
{
char buf[1024] = { '\0' };
sprintf(buf, "%.f", Factorial(100));
printf("The factorial of 100 is : %s\n",buf);
char substr[5] = { '\0' };
int i;
for (i = 0; i <= strlen(buf) - 4; i++)
{
memcpy(substr, buf + i, 4);
if (CheckPrime(atol(substr)))
{
printf("The expected result found and it is : %s\n",substr);
return 0;
}
}
printf("No result as expected!!\n");
return 0;
}

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